$\int \frac{dx}{1-\cos x}$ =?

প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হলো:

\[ \int \frac{dx}{1-\cos x} \]

আমরা ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যবহার করতে পারি। আমরা জানি:

\[ 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \]

এখন ইন্টিগ্রালটিতে এই মান প্রতিস্থাপন করি:

\[ \int \frac{dx}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \]

এটি এভাবেও লেখা যায়:

\[ \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{2}} dx \]

আমরা জানি \( \frac{1}{\sin^2 \theta} = \operatorname{cosec}^2 \theta \)। সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:

\[ \frac{1}{2} \int \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} dx \]

এখন, আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করব। ধরি, \( u = \frac{x}{2} \)।

তাহলে, \( du = \frac{1}{2} dx \)

অর্থাৎ, \( dx = 2 du \)

ইন্টিগ্রালটিতে \( u \) এবং \( du \) এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই:

\[ \frac{1}{2} \int \operatorname{cosec}^2 u (2 du) \]

\[ = \int \operatorname{cosec}^2 u du \]

আমরা জানি যে \( \int \operatorname{cosec}^2 u du = -\cot u + C \)।

এখন, \( u \) এর আসল মান \( \frac{x}{2} \) প্রতিস্থাপন করি:

\[ -\cot \frac{x}{2} + C \]

সুতরাং, ইন্টিগ্রালের সঠিক সমাধান হলো \( -\cot \frac{x}{2} + C \)।